bilgibitig

Riyazi əməllərdə təməl riyazi anlayışlardan biridir. Bütün hesablamalar bu riyazi əməllərdən istifadə edərək aparılmaqdadır. Riyazi əməllərdən ilki toplama əməlidir. Toplama bir riyazi ifadəni digər riyazi ifadə qədər artırma əməlidir. Burda birinci həddə birinci toplanan, ikinci həddə ikinci toplanan, hər iki həddə birlikdə toplananlar və onların toplamına isə cəm deyilməkdədir. Toplama əməli + işarəsi ilə işarələnir. Nümunə olaraq aşağıda bir toplama əməli verilmişdir.

Burda olan c cəmi, a birinci toplananı və b ikinci toplananı işarələməkdədir. Toplama əməlində toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişməz. Bu yerdəyişmə qaydası (kommutativlik teoremi) adlanır və aşağıdakı kimi yazılır.

Əgər cəmdə üç toplanan varsa o zaman toplananları onları iki iki olmaqla ardıcıl olaraq

bu şəkildə mötərizə içinə alınarsa cəm dəyişməz. Bu cəmdə qruplaşdırma qanunu adlanır.

Riyazi əməllərdən ikinci olanı isə çıxma əməlidir. Çıxma əməli bir riyazi ifadəni digər riyazi ifadə qədər azaltmaq əməlidir. Burda birinci həddə azalan (çıxılan), ikinci həddə azaldan (çıxan), cavaba isə azalmış (çıxılmış və ya fərq) deyilir. Toplama əməli - işarəsi ilə işarələnir. Nümunə olaraq aşağıda bir cıxma əməli verilmişdir.

Burda olan c azalmışı, a azalanı və b azaldanı işarələməkdədir. Yeri gəlmişgən onu da qeyd edək ki, çıxma əməli əslində aşağıdakı düsturda göstərildiyi kimi bir toplama əməlidir.

Bu düsturu gələcək bölümlərdə daha ayrıntılı öyrənəcəyik. Onda görədə indi növbəti riyazi əməl olan vurma əməli ilə davam edək. Vurma əməlini daha yaxşı anlaya bilmək üçün nümunələrlə davam edək. Tutaq ki, otaqda 5 qab var və hər bir qabda 4 kq alma var. Bütün qablarda cəmi neçə kq alma olduğunu tapmaq üçün aydındır ki, biz bütün qablardakı almaları toplamalıyıq: 4+4+4+4+4=20. Görsəndiyi kimi bizim toplamamızda 5 dənə eyni toplanan vardır. Və ya belə desək, birinci toplanan, ikinci toplanan, üçünücü toplanan, dördüncü toplanan və beşinci toplanan bir birlərinə bərabərdi. Cəmin bütün toplananları bərabər olduğu üçün bu toplama əməlini biz 4+4+4+4+4=20 bu şəkildə deyil 5⋅4=20 şəkilində yazırıq və bütün toplananları eyni olan cəmədə vurma əməli deyirik. Bu dediklərimizi ümumiləşdirək. Əlimizdə a₁,a₂,a₃,…,a_n sayda toplanan vardır. Bu toplananların cəmi aydındır ki,

olacaqdır. Əgər toplananlar a₁=a₂=a₃=⋯=a_n olarsa yəni, bir birlərinə bərabər olarsa və bizdə bütün toplananları a ilə işarə edərsək toplama əməlini aşağıdakı şəkildə yaza bilərik.

Deməli bütün toplananları eyni olan cəmə, yəni a ifadəsini n dəfə artırmağa vurma əməli deyilir və c=n⋅a şəkilində ifadə olunur. Burada n birinci vuruq, a ikinci vuruq və nəticə olan c isə hasil adlanır. Vurma əməli ⋅ işarəsindən əlavə olaraq * və × kimi işarələrlə də işarə olunur. Vurma əməli üçündə yerdəyişmə qanunu keçərlidir. Vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişməz.

Vuruqları iki iki mötərizələrə alaraq qruplaşdırsaq hasil dəyişməz. Bu vurmada qruplaşma qanunu adlanır.

Əgər n=0 olarsa bu o deməkdir ki, cəmin toplananınları yoxdur. Bu da o deməkdir ki, olmayan bir şeylərin toplanmasının cəmidə olmayan bir şey olacaqdır. Ona görədə sıfırla istənilən vuruğun hasili sıfır olacaqdır: c=0⋅a=0. Əgər n=1 olarsa bu o deməkdir ki, cəmin bir dənə toplananı vardır. Ona görədə cəm həmin toplananın özünə bərabər olacaqdır: c=1⋅a=1. Bu kimi təməl vurma hesabları vurma cədvəlində verilmişdir. Vurma əməlinin önəmli bir əhəmiyyətini qeyd etmək lazımdır. Yadda saxlamaq lazımdır ki, iki müsbət ifadənin (ədədin) hasili müsbət, bir mənfi və bir müsbət ifadənin (ədədin) hasili isə mənfi ədəd olacaqdır. Vurma əməlinə aid olan bu qaydalarada nəzər salaq. Çoxhədli ifadənin cəmini (və ya fərqini) birhədliyə vurduqda alınan hasil, çoxhədlinin hər bir həddini bir hədliyə vuraraq alınan hasillərin cəminə (və ya fərqinə) bərabərdir. Bu paylama (distributivlik) qanunu adlanır və riyazi olaraq aşağıdakı kimi ifadə olunur.

Çoxhədlini çoxhədliyə vurduqda alınan hasil, birinci çoxhədlinin növbə ilə hər bir həddini ikinci çoxhədlinin hər bir həddinə vuraraq alınan hasillərin cəminə (və ya fərqinə) bərabərdir.

Əgər çoxhədlini aşağıdakı şəkildə iki hədli ilə əvəz etsək.

şəkilini almaqdadır.

Bölmə əməlidə riyazi əməllərdən biridir. Bölmə əməli də əslində vurma əməlinin əksinə olaraq çox sayda eyni azaldanların iştirakı ilə yerinə yetirilən çıxma əməlidir. Tutaq ki, əlimizdə 20 kq alma var və biz bunu 4 nəfər arasında bərabər bölüşdürək. Hər adama 1 kq alma versək cəmi 4 kq alma vermiş olarıq. 20 kq almadan 4 kq çıxdıqda yedə 16 kq alma qalar. Yenidən hər adama 1 kq alma versək cəmi 4 kq alma vermiş olarıq. Əlimizdə qalan 16 kq almadan 4 kq alma çıxdıqda yerdə 12 kq alma qalar. Beləliklə bu işi yerdə 0 kq alma qalana qədər davam etdiririk.

Deməli, nəticədə biz 20 kq almadan 5 dəfə 4 kq alma çıxmış olduq. 5 dəfə 4 kq-ı vurma əməlindən bildiyimiz kimi 5⋅4 şəkilində də yaza bilərik.

Bərabərlikdən bildiyimiz kimi yuxarıdakı ifadəni aşağıdakı kimi də yaza bilərik.

Əgər biz bu ifadəni 5=20/4 şəkilində yazsaq onda deməli son nəticədə 20-4-4-4-4-4=0 ifadəsini

şəkildə yazmış oluruq ki, buda bölmə əməli deyərik.

Dediklərimizi ümumiləşdirək. Əlimizdə a₁,a₂,a₃,…,a_n sayda azaldan vardır. Bu zaman aydındır ki,

olacaqdır. Əgər azaldanlar a₁=a₂=a₃=⋯=a_n olarsa yəni, bir birlərinə bərabər olarsa və bizdə bütün azaldanları a ilə işarə edərsək bölmə əməlini aşağıdakı şəkildə yaza bilərik.

Deməli, çox sayda eyni azaldanların iştirakı ilə yerinə yetirilən çıxma əməli və ya c ifadəsini a ifadəsi qədər bərabər hissələrə ayırmaq əməli bölmə əməli adlanır. Yəni, bölmə əməli elə bir əməldir ki, n ifadəsini tapmaq üçün onu a ifadəsinə vurduqda c ifadəsi alınsın. Burda c bölünən, a bölən və n isə düşən (qismət) adlanır. Bölmə əməli a/b işarəsindən başqa ÷,a⁄b və ∶ işarələri ilə də işarələnməkdədir.

Bölmə əməlində əgər a=0 olarsa o zaman bu o deməkdir ki, c ifadəsindən heç nə çıxılmayacaq. Ona görədə c/0 bölməsinin heç bir əhəmiyyəti olmayacaq və buna görədə riyaziyyatda 0-a bölmə yoxdur deyilir. Bölmə əməli özüdə tam bölmə və qalıqlı bölmə olaraq iki yerə ayrılmaqdadır. Tam bölmə elə bir bölmədir ki, c ifadəsini a ifadəsi qədər bərabər hissələrə ayırdıqda yerdə heç nə qalmır. Yuxarıda kı, nümunədə gördük ki, 20 kq almanı 4 nəfər arasında bərabər hissələrə ayırdıqda hərəyə 5 kq alma düşmüşdü və yerdə 0 kq alma yəni heç nə qalmamışdır. Biz bunu ümumiləşmiş şəkildə bu cur

yazmışdıq. Qalıqlı bölmə elə bölmədir ki, c ifadəsini a ifadəsi qədər bərabər hissələrə ayırdıqda yerdə q hissəsi qədər ifadə qalır və hər zaman yerdə qalan q hissəsi hər zaman a ifadəsindən kiçik olur yəni, a>q münasibəti dəyişməz qalır. Nümunə olaraq göstərəsi olsaq 20 kq almanı 3 nəfər arasında bərabər hissələrə ayırdıqda hərəyə 9 kq alma düşər və yerdə 2 kq alma qalar. Bu qalan 2 kq almaya qalıq, bölmə əməlinə isə 20 kq-ın 3 yerə qalıqlı bölünməsi deyilir. Nümunədə baxdığımız qalıqlı bölməni isə 20:3=9 (2) kimi yazırıq. Ümumiləşdirsək dediklərimizi aşağıdakı kimi yaza bilərik.

Qalıqlı bölmənin daha inkişaf etmiş halını kəsir və hesabi ədədlər (rasional) bölmələrində öyrənəcəyik. Burda isə aşağıdakı şəkildə olan çoxhədli və ikihədlinin bölünməsi qaydasına baxaq. Bizə aşağıdakı şəkildə verilmiş

çoxhədlisini b-a iki hədlisinə böldükdə

alınan qalıq b=a olduqda

a₁+a₂⋅a¹+a₃⋅a²+⋯+a_n⋅a^(n-1) çoxhədlisinin aldığı qiymətə bərabərdir. Bu qaydaya bəzən Bezu qaydası (teoremi) deyilir.

İndi isə bölünmə əlamətinə baxaq. Bölmə əməli aparılmadan bir ifadənin digər ifadəyə tam olaraq bölünəcəyinin bilinməsi qaydası bölünmə əlaməti adlanır. Tərifdən görsəndiyi kimi bölmə əlaməti tam bölməyə aiddir. Bölmə əlamətləri qaydaları (teoremləri) aşağıdakılardır.

- Əgər toplananların hər biri verilən ifadəyə bölünərsə o zaman toplananların cəmidə həmin ifadəyə bölünər.

- Əgər azalan və azaldan bir ifadəyə bölünərsə o zaman fərqdə həmin ifadəyə bölünər.

- Əgər vuruqlardan biri verilən ifadəyə bölünərsə hasildə həmin ifadəyə bölünər.

- Ədədin sonuncu rəqəmi 0 olarsa o ədəd 10-a bölünür. Ədədin sonuncu rəqəmi 0 olarsa və ya 5-ə bölünərsə o ədəd 5-ə bölünər. Ədədin sonuncu rəqəmi 0 olarsa və ya 2-yə bölünərsə o ədəd 2-yə bölünər.

- Əgər ədədin son iki rəqəmi 0 olarsa və ya son iki rəqəminin əmələ gətirdiyi ədəd 50-yə bölünərsə həmin ədəd də 50-yə, 25-ə və 4-ə bölünər.

- Əgər ədədin rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünərsə həmin ədəd 3-ə və 9-a bölünər.

- Əgər ədəd 2-yə və 3-ə bölünərsə o ədəd 6-ya, əgər ədəd 3-ə və 4-ə bölünərsə o ədəd 12-yə, əgər ədəd 3-ə və 5-ə bölünərsə o ədəd 15-ə bölünər.

Mənbə: Şükür Məhişoğlu, Riyaziyyat kitabı.