bilgibitig

Olasılıq düşüncəsi (ehtimal nəzəriyyəsi) baş verən təsadüfü olayları (hadisələrin) öyrənən riyaziyyat elminin bir qoludur.

Sınaq, olay (hadisə), dəyişənlər (rassal dəyişkən) olasılıq düşüncəsinin anlayışlarıdır. Bir olayın baş verməsi üçün atılan addım sınaq, sınaq zamanı alınan (əldə olunan) nəticə isə olay adlanır. Dəyişən isə bir neçə sınağın bir-biri ilə bağlı olmayan olaylarının (hadisələrinin) qiymətini bir işarəyə mənimsədərək ifadə edilməsidir.

Olasılıq düşüncəsi oxla hədəfi vurmaq örnəyi ilə bu cür açıqlana bilər. Olasılıq düşüncəsi ilə oxçunun hədəf taxtasına ox atması və oxun daha yüksək qiymət ala bilməsi olasalığını hesablayaq. İlk öncə verilən və anlayışlara baxaq. Bizim örnəyimizdə oxçunun hədəf taxtasına ox atması sınaq, oxçunun baxılan zaman kəsimində neçə ədəd ox atması sınaq sayı adlanır. Oxun hədəf taxtasının hər hansı bir yerinə dəyməsi və ya dəyməməsi isə olay (hadisə) adlanır. Əgər ox hədəf taxtasına dəyərsə o zaman dəydiyi yerə uyğun aldığı qiymət olayın (hadisənin) dəyəri adlanır. Bildiyimiz hədəf taxtasının mərkəzində 10 sayı (xal) verən kiçik dairə olmaqla onun ətrafında 9 say verən bir dairəvi zolaq, 8 say verən bir dairəvi zolaq, 7 say verən bir dairəvi zolaq, 6 say verən bir dairəvi zolaq və 5 say verən bir dairəvi zolaq vardır. Atılan ox bu zolaqlardan birinə dəyib həmin zolağın verdiyi sayını (xalı) və ya həfə taxtasına dəyməyib 0 sayı (xal) ala bilər. Deməli, atılan ox 0, 5, 6, 7, 8, 9, 10 saylarından birini mütləq alacaqdır. Ona görədə bu sayların hər biri gözlənilən (alına bilən) dəyər adlanır. Bu sayların daxil olduğu çoxluq isə D={0, 5, 6, 7, 8, 9, 10} gözlənilən (alına bilən) dəyər çoxluğudur. Oxu atan zaman oxun alacağı sayı, yəni oxun alacağı gözlənilən X_i dəyəri, gözlənilən (alına bilən) dəyər çoxluğuna (X_i∈D, i={1, ..., 7}) daxil olacaqdır. Dəyər çoxluğunun hər hansı bir əlamanını ifadə edən X_i işarəsi isə dəyişən hesab olunur.

Atılan oxun hansı zolağa dəycəyi olasılığı hesablanan zaman əldə olunan qiymət 0-la 1 arasında dəyişir. Bu qiymət P(X_i) və ya f(X_i) ilə işarə edilir. Əgər olasılığın (ehtimalın) hesablanması zamanı əldə olunan P(X_i) nəticəsinin qiyməti 0-la 1 arasında dəyişirsə bu o deməkdir ki, P(X_i) daxildir {0, 1} çoxluğuna. Bu P(X_i)∈{0, 1} yazılmaqdadır. Bizim örnəyimizdə X_i daxildir (X_i∈D, D={0, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) gözlənilən (alına bilən) dəyər çoxluğuna. Hesablama zamanı əldə olunan qiymət P(X_i)=0 olarsa bu o deməkdir ki, bu olay heç vaxt baş verməyəcək, əgər P(X_i)=1 olarsa bu o deməkdir ki, bu olay mütləq baş verəcək. Bizim örnəkdə əgər biz oxun taxtaya dəyib dəyməyəcəyi olasılığını hesablasaq və nəticə olaraq P(X_i)=0 alarsaq bu o demkdir ki, ox taxtaya heç vaxt dəyməyəcək. Əgər P(X_i)=1 nəticəsini alarıqsa bu isə o demək olur ki, ox mütləq hədəf taxtasına dəyəcək.

İndi isə atılan bir oxun hansı dəyəri alacağına, daha doğrusu gözlənilən (alına bilən) dəyərdən hansı alacağına baxaq və hesablayaq. Qeyd etdiyiz kimi atılan bir ox gözlənilən (alına bilən) dəyər (D={0, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) çoxluğuna daxil olan dəyərlərdən birini (X_i) mütləq alacaqdır. Gözlənilən (alına bilən) dəyər çoxluğunun (D={0, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) əlamanlarının sayı n=7 olduğu üçün bir oxun da mütləq ala biləcək dəyərlərin sayı da 7-dir.

Hədəf taxtasının sayı (xal) verən zolaqları və oxun hədəf taxtasına dəyməməsi durumu atılan oxa nibətdə eyni şərtlər altında olduğu üçün (yəni bütün zolaqların eninin eyni olması, hər hası zolağın və ya mərkəzdəki dairənin üstü qapanmayıb, yaxud hədəf taxtasının hansısa zolağının və ya mərkəzdəki dairənin qarşısında oxun ona dəyməsinə mane olan bir maneə-nəstə yoxdur) oxun bu zolaqlardan birinə və ya mərkəzdəki dairəyə dəyməsi, yaxud ümumiyyətlə hədəf taxtasına dəyməməsinin olasılığı 7 mütləq ala biləcək dəyərdən biri olacağı üçün olasılığın qiymətidə 1/7 olacaqdır. Dediyimizi ümumiləşdirsək, bir olayın baş verməsi olasılığının

P(X_i)=1/n, Xi ∈ {X₁, X₂, ..., X_i-1, X_i}, i={1, ..., n}

Düstürundan istifadə edərək hesablayacağıq. Bizim örnəyimizdə atılan bir oxun hədəf taxtasının mərkəzinə və ya hər hansı bir zolağına dəyməsi yaxud dəyməməsi, yəni 7 mütləq ala biləcək dəyərin hər birinin olasılığı P(X_i)=1/7=0.143. Yeri gəlmişgən olasılığın qiyməti adsız ədəddir. Deməli 7 mütləq ala biləcək dəyərin hər birinin olasılığı 0.143 olduğu üçün onların da cəmi 1-ə bərabər olacaqdır. Yəni, P(X₀)=0.143, P(X₁)=0.143, P(X₂)=0.143, P(X₃)=0.143, P(X₄)=0.143, P(X₅)=0.143 və P(X₆)=0.143 olduğ üçün P(X₀)+ P(X₁)+ P(X₂)+ P(X₃)+ P(X₄)+ P(X₅)+ P(X₆)=1 olması bəllidir.Dediyimizi ümumiləşdirib qeyd etsək

∑P(X_i)=1, X_i ∈ {X₁, X₂, ..., X_i-1, X_i}, i={1, ..., 7}

ifadəsini almış olarıq.

Əgər atılan bir oxun hədəf taxtasına dəyməsini H ({5, 6, 7, 8, 9, 10}), dəyməməsini isə K ({0}) ifadə etsək, yuxarıda qeyd etdiyimiz ki, bunların cəmi 1-ə bəravərdir. Yəni, P(H)+P(K)=1 olduğu üçün və P(X₀)=P(K) olduğu üçün P(K)=0.143 qiymətini alacaqdır. Çünki, 0 əlamanı hər iki D və K çoxluqlarının ortaq əlamanı olduğu və D çoxluğu K və H çoxluqlarının birləşməsi (D=K∪H)olduğu üçün həm də K∈D və K çoxluğu da D çoxluğunun alt çoxluğu olduğu üçün D çoxluğundakı 0 əlamanının olasılıq (ehtimal) dəyəri həmdə K çoxluğunun 0 əlamanının olasılıq dəyəridir.

Bu qeyd edilənlərə əsasən atılan oxun hədəf taxtasına dəyməsi olasılılığı

P(H)+P(K)=1,
P(H)=1-P(K), P(K)=0.143
P(H)=0.857≈0.9

olaraq hesablanır. Buda o deməkdir ki, atılan hər 10 oxun 9-u hədəf taxtasına dəyməsi və 1 oxun (0.143≈1) hədəf taxtasından kənara gedəcəyi olasılığı (ehtimalı) vardır. Bu örnək üzərindən ediyimizi ümumiləşdirərək bu

A olayının baş verməsi üçün olasılıq: P(A) ∈{0,1}
A olayının baş verməməsi üçün olasılıq: P(B)=1-P(A)
A və B olayının olması üçün olasılıq: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

düsturlarla ifadə edə bilərik.